Dalam matematika, konsep limit digunakan untuk menjelaskan sifat dari
suatu fungsi, saat argumen mendekati ke suatu titik, atau tak hingga;
atau sifat dari suatu barisan saat indeks mendekati tak hingga. Limit
dipakai dalam kalkulus (dan cabang lainnya dari analisis matematika)
untuk mencari turunan dan kekontinyuan.
Dalam pelajaran matematika, limit biasanya
mulai dipelajari saat pengenalan terhadap kalkulus, dan untuk memahami
konsep limit secara menyeluruh bukan sesuatu yang mudah.
Daftar isi
[sembunyikan]
* 1 Limit sebuah fungsi
o 1.1 Definisi formal
o 1.2 Limit sebuah fungsi pada titik tak terhingga
* 2 Limit barisan
[sunting] Limit sebuah fungsi
!Artikel utama untuk bagian ini adalah: Limit fungsi
Jika f(x) adalah fungsi real dan c adalah bilangan real, maka:
\lim_{x \to c}f(x) = L
berarti f(x) dapat dibuat agar mempunyai nilai sedekat mungkin dengan L
dengan cara membuat nilai x dekat dengan c. Dalam contoh ini, "limit
dari f(x), bila x mendekati c, adalah L". Perlu diingat bahwa kalimat
sebelumnya berlaku, meskipun f(c) \neq L. Bahkan, fungsi f(x) tidak
perlu terdefinisikan pada titik c. Kedua contoh dibawah ini
menggambarkan sifat ini.
Sebagai contoh, f(x) = \frac{x}{x^2 + 1} pada saat x mendekati 2. Dalam
contoh ini, f(x) mempunyai definisi yang jelas pada titik 2 dan nilainya
sama dengan limitnya, yaitu 0.4:
f(1.9) f(1.99) f(1.999) f(2) f(2.001) f(2.01) f(2.1)
0.4121 0.4012 0.4001 \Rightarrow 0.4 \Leftarrow 0.3998 0.3988 0.3882
Semakin x mendekati 2, nilai f(x) mendekati 0.4, dan karena itu
\lim_{x\to 2}f(x)=0.4. Dalam kasus dimana f(c) = \lim_{x\to c} f(x), f
disebut kontinyu pada x = c. Namun, kasus ini tidak selalu berlaku.
Sebagai contoh,
g(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{x}{x^2+1}, & \mbox{if }x\ne 2 \\ \\ 0, & \mbox{if }x=2. \end{matrix}\right.
Limit g(x) pada saat x mendekat 2 adalah 0.4 (sama seperti f(x)), namun
\lim_{x\to 2}g(x)\neq g(2); g tidak kontinyu pada titik x = 2.
Atau, bisa diambil contoh dimana f(x) tidak terdefinisikan pada titik x = c.
f(x) = \frac{x - 1}{\sqrt{x} - 1}
Dalam contoh ini, pada saat x mendekati 1, f(x) tidak terdefinisikan
pada titik x = 1 namun limitnya samadengan 2, karena makin x mendekati
1, f(x) makin mendekati 2:
f(0.9) f(0.99) f(0.999) f(1.0) f(1.001) f(1.01) f(1.1)
1.95 1.99 1.999 \Rightarrow undef \Leftarrow 2.001 2.010 2.10
Jadi, x dapat dibuat sedekat mungkin dengan 1, asal bukan persis sama dengan 1, jadi limit dari f(x) adalah 2.
[sunting] Definisi formal
Sebuah limit didefinisikan secara formal sebagai berikut: Bila f adalah
fungsi yang terdefinisikan pada sebuah interval terbuka yang mengandung
titik c (dengan kemungkinan pengecualian pada titik c) dan L adalah
bilangan real, maka
\lim_{x \to c}f(x) = L
berarti bahwa untuk setiap \varepsilon\ >0 terdapat \delta\ >0
yang untuk semua x dimana 0<|x-c|< \delta\ , berlaku | f
(x)-L|< \varepsilon\ .
[sunting] Limit sebuah fungsi pada titik tak terhingga
Konsep yang berkaitan dengan limit saat x mendekati sebuah angka adalah
konsep limit saat x mendekati tak terhingga, baik positif atau negatif.
Ini bukan berarti selisih antara x dan tak terhingga menjadi kecil,
karena tak terhingga bukanlah sebuah bilangan. Namun, artinya adalah x
menjadi sangat besar (untuk tak terhingga) atau sangat kecil (untuk tak
terhingga negatif).
Sebagai contoh, lihat f(x) = \frac{2x}{x + 1}.
* f(100) = 1.9802
* f(1000) = 1.9980
* f(10000) = 1.9998
Semakin x membesar, nilai f(x) mendekati 2. Dalam contoh ini, dapat
dikatakan bahwa
\lim_{x \to \infty} f(x) = 2
[sunting] Limit barisan
Perhatikan barisan berikut: 1.79, 1.799, 1.7999 ... Kita dapat mengamati
bahwa angka-angka tersebut "mendekati" 1.8, limit dari barisan
tersebut.
Secara formal, misalkan x1, x2, ... adalah barisan bilangan riil. Kita
menyebut bilangan riil L sebagai limit barisan ini dan menuliskannya
sebagai
\lim_{n \to \infty} x_n = L
yang artinya
Untuk setiap bilangan riil ε > 0, terdapat sebuah bilangan asli
n0 sehingga untuk semua n > n0, |xn − L| < ε.
Secara intuitif ini berarti bahwa pada akhirnya semua elemen barisan
tersebut akan mendekat sebagaimana yang kita kehendaki terhadap limit,
karena nilai absolut |xn − L| adalah jarak antara x dan L. Tidak semua
barisan memiliki limit. Bila ada, kita menyebutnya sebagai konvergen,
bila tidak, disebut divergen. Dapat ditunjukkan bahwa barisan konvergen
hanya memiliki satu limit.
Limit barisan dan limit fungsi berkaitan erat. Pada satu sisi, limit
barisan hanyalah limit pada tak terhingga dari suatu fungsi yang
didefinisikan pada bilangan asli. Di sisi lain, limit sebuah fungsi f
pada x, bila ada, sama dengan limit barisan xn = f(x + 1/n).
