Limit Fungsi

LIMIT FUNGSI

A. Limit Fungsi Aljabar
Pengertian limit fungsi aljabar merupakan pengertian dasar hitung differensial dan hitung integral. Lebih
jelasnya pada contoh berikut ini.
Fungsi f didefinisikan sebagai
2
2
3
2
)
(
2
−
−
−
=
x
x
x
x
f
Jika variabel x diganti dengan 2 maka f (2) =00 , tetapi adakah bilangan yang akan didekati oleh f (x) jika nilai x
mendekati 2?................. oleh karena itu kita akan mempelajari masalah limit.
1. Pengertian limit
a.
L
x
f
Lima
x
=
→
)
(
, jika untuk x yang dekat dengan a (tetapi x≠ a) maka berlaku f (x) dekat dengan L.
a. Limit kiri fungsi, ditulis
L
x
f
Lima
x
=
−
→
)
(
, berarti nilai fungsi f makin dekat dengan a dari sebelah kiri a.
b. Limit kanan fungsi, ditulis
L
x
f
Lim
a
x
=
+
→
)
(
, berarti nilai fungsi f makin dekat dengan a dari sebelah kanan a.
c. Jika
L
x
f
Lim
maka
L
x
f
Lim
x
f
Lim
a
x
a
x
a
x
=
=
=
→
→
→
+
−
)
(
,
)
(
)
(
2. Pengertian limit secara matematis
L
x
f
Lima
x
=
→
)
(
ada artinya
ε
δ
δ
ε
< − ⇒ < − < ∋ ∃ >
∀
L
x
f
a
x
)
(
0
0
(lebih lanjut akan dijelaskan di bangku kuliah)
3. Menentukan limit fungsi aljabar
3.1Limit fungsi
a
x
untuk
x
f
x
f
→
→
)
(

:
Dengan cara substitusi langsung. Cara ini dilakukan dengan mensubstitusikan nilai-nilai x = a, ke dalam f (x),
apabila didapat:
a. f (a) = h, berarti
h
x
f
Lima
x
=
→
)
(
b. f (a) =
∞
=
→
)
(
,
0
x
f
Lim
berarti
h
a
x
c. f (a) =
0
)
(
,
0
=
→
x
f
Lim
berarti
h
a
x
d.
00
)
(=
a
f
, maka:
(1) Bentuk f (x) difaktorkan sehingga
00
)
(≠
a
f
kemudian disubstitusikan lagi.
(2) Bentuk f (x) dikalikan dengan sekawan pembilang dan atau penyebut sehingga
00
)
(≠
a
f
kemudian
disubstitusikan lagi

Limit

Dalam matematika, konsep limit digunakan untuk menjelaskan sifat dari suatu fungsi, saat argumen mendekati ke suatu titik, atau tak hingga; atau sifat dari suatu barisan saat indeks mendekati tak hingga. Limit dipakai dalam kalkulus (dan cabang lainnya dari analisis matematika) untuk mencari turunan dan kekontinyuan.

Dalam pelajaran matematika, limit biasanya mulai dipelajari saat pengenalan terhadap kalkulus, dan untuk memahami konsep limit secara menyeluruh bukan sesuatu yang mudah.
Daftar isi
[sembunyikan]

* 1 Limit sebuah fungsi
o 1.1 Definisi formal
o 1.2 Limit sebuah fungsi pada titik tak terhingga
* 2 Limit barisan

[sunting] Limit sebuah fungsi
!Artikel utama untuk bagian ini adalah: Limit fungsi

Jika f(x) adalah fungsi real dan c adalah bilangan real, maka:

\lim_{x \to c}f(x) = L

berarti f(x) dapat dibuat agar mempunyai nilai sedekat mungkin dengan L dengan cara membuat nilai x dekat dengan c. Dalam contoh ini, "limit dari f(x), bila x mendekati c, adalah L". Perlu diingat bahwa kalimat sebelumnya berlaku, meskipun f(c) \neq L. Bahkan, fungsi f(x) tidak perlu terdefinisikan pada titik c. Kedua contoh dibawah ini menggambarkan sifat ini.

Sebagai contoh, f(x) = \frac{x}{x^2 + 1} pada saat x mendekati 2. Dalam contoh ini, f(x) mempunyai definisi yang jelas pada titik 2 dan nilainya sama dengan limitnya, yaitu 0.4:
f(1.9) f(1.99) f(1.999) f(2) f(2.001) f(2.01) f(2.1)
0.4121 0.4012 0.4001 \Rightarrow 0.4 \Leftarrow 0.3998 0.3988 0.3882

Semakin x mendekati 2, nilai f(x) mendekati 0.4, dan karena itu \lim_{x\to 2}f(x)=0.4. Dalam kasus dimana f(c) = \lim_{x\to c} f(x), f disebut kontinyu pada x = c. Namun, kasus ini tidak selalu berlaku. Sebagai contoh,

g(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{x}{x^2+1}, & \mbox{if }x\ne 2 \\ \\ 0, & \mbox{if }x=2. \end{matrix}\right.

Limit g(x) pada saat x mendekat 2 adalah 0.4 (sama seperti f(x)), namun \lim_{x\to 2}g(x)\neq g(2); g tidak kontinyu pada titik x = 2.

Atau, bisa diambil contoh dimana f(x) tidak terdefinisikan pada titik x = c.

f(x) = \frac{x - 1}{\sqrt{x} - 1}

Dalam contoh ini, pada saat x mendekati 1, f(x) tidak terdefinisikan pada titik x = 1 namun limitnya samadengan 2, karena makin x mendekati 1, f(x) makin mendekati 2:
f(0.9) f(0.99) f(0.999) f(1.0) f(1.001) f(1.01) f(1.1)
1.95 1.99 1.999 \Rightarrow undef \Leftarrow 2.001 2.010 2.10

Jadi, x dapat dibuat sedekat mungkin dengan 1, asal bukan persis sama dengan 1, jadi limit dari f(x) adalah 2.


[sunting] Definisi formal

Sebuah limit didefinisikan secara formal sebagai berikut: Bila f adalah fungsi yang terdefinisikan pada sebuah interval terbuka yang mengandung titik c (dengan kemungkinan pengecualian pada titik c) dan L adalah bilangan real, maka

\lim_{x \to c}f(x) = L

berarti bahwa untuk setiap \varepsilon\ >0 terdapat \delta\ >0 yang untuk semua x dimana 0<|x-c|< \delta\ , berlaku | f (x)-L|< \varepsilon\ . [sunting] Limit sebuah fungsi pada titik tak terhingga Konsep yang berkaitan dengan limit saat x mendekati sebuah angka adalah konsep limit saat x mendekati tak terhingga, baik positif atau negatif. Ini bukan berarti selisih antara x dan tak terhingga menjadi kecil, karena tak terhingga bukanlah sebuah bilangan. Namun, artinya adalah x menjadi sangat besar (untuk tak terhingga) atau sangat kecil (untuk tak terhingga negatif). Sebagai contoh, lihat f(x) = \frac{2x}{x + 1}. * f(100) = 1.9802 * f(1000) = 1.9980 * f(10000) = 1.9998 Semakin x membesar, nilai f(x) mendekati 2. Dalam contoh ini, dapat dikatakan bahwa \lim_{x \to \infty} f(x) = 2 [sunting] Limit barisan Perhatikan barisan berikut: 1.79, 1.799, 1.7999 ... Kita dapat mengamati bahwa angka-angka tersebut "mendekati" 1.8, limit dari barisan tersebut. Secara formal, misalkan x1, x2, ... adalah barisan bilangan riil. Kita menyebut bilangan riil L sebagai limit barisan ini dan menuliskannya sebagai \lim_{n \to \infty} x_n = L yang artinya Untuk setiap bilangan riil ε > 0, terdapat sebuah bilangan asli n0 sehingga untuk semua n > n0, |xn − L| < ε. Secara intuitif ini berarti bahwa pada akhirnya semua elemen barisan tersebut akan mendekat sebagaimana yang kita kehendaki terhadap limit, karena nilai absolut |xn − L| adalah jarak antara x dan L. Tidak semua barisan memiliki limit. Bila ada, kita menyebutnya sebagai konvergen, bila tidak, disebut divergen. Dapat ditunjukkan bahwa barisan konvergen hanya memiliki satu limit. Limit barisan dan limit fungsi berkaitan erat. Pada satu sisi, limit barisan hanyalah limit pada tak terhingga dari suatu fungsi yang didefinisikan pada bilangan asli. Di sisi lain, limit sebuah fungsi f pada x, bila ada, sama dengan limit barisan xn = f(x + 1/n).

Manfaat Statistika

Manfaat statistika dalam kehidupan sehari-hari sangat beragam sebagai contoh sederhana:

 - Bagi ibu-ibu rumah tangga mungkin tanpa disadari mereka telah menerapkan statiska. Dalammembelanjakan uang untuk kebutuhan keluarganya sering melakukan perhitungan untung rugi, berapa jumlah uang yang harus dikeluarkan setiap bulannya untuk uang belanja, listrik, dll.

 

- Sebagai mahasiswa, selain statistika dipelajari secara formal sebenarnya kita sudah menggunakannyadalam perhitungan Indeks prestasi.

 

- Dalam dunia bisnis, para pemain saham atau pengusaha sering menerapkan statistika untuk memperolehkeuntungan. Seperti peluang untuk menanamkan saham.

 

- Sedangkan dalam bidang industri, statistika sering digunakan untuk menentukan keputusan. Contohnyaberapa jumlah produk yang harus diproduksi dalam sehari berdasarkan data historis perusahaan, apakahperlu melakukan pengembangan produk atau menambah varian produk, perlu tidaknya memperluas cabangproduksi, dll.Jadi statistika sebenarnya sangat penting bagi kita, dapat berguna dalam menentukan keputusan meskipunkadangkala penggunaannya tidak kita sadari.

Statistika

PENGERTIAN STATISTIKA

 

      Statistika adalah ilmu yang mempelajari bagaimana merencanakan, mengumpulkan, menganalisis,menginterpretasi, dan mempresentasikan data. Singkatnya, statistika adalah ilmu yang berkenaan dengan data. Ataustatistika adalah ilmu yang berusaha untuk mencoba mengolah data untuk mendapatkan manfaat berupa keputusandalam kehidupan. Istilah µstatistika¶ (bahasa Inggris: statistics) berbeda dengan µstatistik¶ (statistic). Statistikamerupakan ilmu yang berkenaan dengan data, sedang statistik adalah data, informasi, atau hasil penerapanalgoritma statistika pada suatu data.Statistika juga dapat diartikan sebagai ilmu yang mempelajari bagaimanamerencanakan mengumpulkan menganalisis menginterpretasi dan mempresentasikan data. Statistika merupakanilmu yang berkenaan dengan data sedangkan statistik adalah data informasi atau hasil penerapan algoritmastatistika pada suatu data. Beberapa istilah statistika antara lain: populasi sampel unit sampel dan probabilitas. Ada dua macam statistika yaitu statistika deskriptif dan statistika inferensial. Statistika deskriptif berkenaandengan deskripsi data misal dari menghitung rata-rata dan varians dari data mentah, mendeksripsikan menggunakantabel-tabel atau grafik sehingga data mentah lebih mudah ³dibaca´ dan lebih bermakna. Sedangkan statistikainferensial lebih dari itu misalnya melakukan pengujian hipotesis, melakukan prediksi observasi masa depan ataumembuat model regresi.

 

    Statistika deskriptif berkenaan dengan bagaimana data dapat digambarkan dideskripsikan) ataudisimpulkan baik secara numerik (misal menghitung rata-rata dan deviasi standar) atau secara grafis (dalambentuk tabel atau grafik) untuk mendapatkan gambaran sekilas mengenai data tersebut sehingga lebihmudah dibaca dan bermakna.

 

    Statistika inferensial berkenaan dengan permodelan data dan melakukan pengambilan keputusanberdasarkan analisis data misal melakukan pengujian hipotesis melakukan estimasi pengamatan masamendatang (estimasi atau prediksi) membuat permodelan hubungan (korelasi regresi ANOVA deret waktu)dan sebagainya.Sebagian besar konsep dasar statistika mengasumsikan teori probabilitas. Beberapa istilah statistika antara lain: populasi,sampel,unit sampel,dan probabilitas. Statistika banyak diterapkan dalam berbagai disiplin ilmu, baik ilmu-ilmu alam (misalnya astronomi dan biologi),ilmu-ilmu sosial (termasuk sosiologi dan psikologi),maupun di bidangbisnis, ekonomi, dan industri. Statistika juga digunakan dalam pemerintahan untuk berbagai macam tujuan, salahsatunya yaitu sensus penduduk yang merupakan salah satu prosedur yang paling dikenal. Aplikasi statistika lainnyayang sekarang popular adalah prosedur jajak pendapat atau polling (misalnya dilakukan sebelum pemilihan umum),serta jajak cepat (perhitungan cepat hasil pemilu) atau quick count. Di bidang komputasi, statistika dapat puladiterapkan dalam pengenalan pola maupun kecerdasan buatan.